Μέσοι όροι, μισθοί και παραπλάνηση

There are lies, damned lies and statistics

– Mark Twain

Ακούω τις τελευταίες μέρες για τους μισθούς των εργαζομένων στο μετρό, και ένα από τα επιχειρήματα είναι ότι ο μέσος μισθός τους είναι κοντά στα 4000 ευρώ. Η πρόταση αυτή δε σημαίνει απολύτως τίποτα και θα δούμε παρακάτω γιατί.

Disclaimer: Το post είναι λίγο σεντονάκι και έχει μαθηματικό θέμα. Προχωρήστε με δική σας ευθύνη.

Ο μέσος όρος ή μέση τιμή (στα αγγλικά mean value), σύμφωνα με τη wikipedia έχει 3 σχετιζόμενες έννοιες:

  • τον αριθμητικό μέσο ενός δείγματος (σε αντίθεση με τον γεωμετρικό ή τον αρμονικό μέσο)
  • την αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής
  • τη μέση τιμή μίας κατανομής πιθανοτήτων

Εδώ θα μας απασχολήσει κυρίως η πρώτη έννοια, αλλά καλό θα ήταν να διαβάσεις κάτι και για τις υπόλοιπες δύο φίλε αναγνώστη, ανοίγοντας ένα βιβλίο πιθανοτήτων (προτείνω το Εισαγωγή στη θεωρία πιθανοτήτων των P. G. Hoel, S. C. Port και C. J. Stone μεταφρασμένο στα Ελληνικά από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης).

Για ένα σύνολο αριθμών, ο μέσος όρος του είναι απλά το άθροισμά τους διαιρεμένο με το πλήθος τους. Ο μέσος όρος είναι ένα στατιστικό μέτρο, δίνει δηλαδή κάποιες πληροφορίες για το σύνολο των αριθμών από το οποίο προέρχεται και είναι χρήσιμο σε πολλές περιπτώσεις. Δυστυχώς όμως -όπως και τόσες άλλες έννοιες από τη στατιστική- χρησιμοποιείται συχνά με τρόπο παραμορφωτικό, είτε γιατί η στατιστική δεν είναι και το απλούστερο επιστημονικό κατασκεύασμα στην ιστορία της ανθρωπότητας, είτε κάποιες φορές επίτηδες, για να οδηγήσει τους ακροατές σε λάθος συμπεράσματα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Αν έχουμε τους αριθμούς 1 μέχρι 10, ο μέσος όρος τους είναι (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10 = 55/10 = 5,5.

Έστω ότι έχουμε σε μία εταιρία 10 εργαζόμενους οι οποίοι πληρώνονται 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, και 10.000 ευρώ ανά μήνα. Τώρα μη με ρωτήσετε πώς ζουν οι 9 πρώτοι εργαζόμενοι και γιατί ο δέκατος παίρνει τόσο μεγαλύτερο μισθό. 1ον είναι φανταστικό το παράδειγμα και 2ον καπιταλισμό έχουμε…

Ποιος είναι ο μέσος μισθός σε αυτή την φανταστική εταιρία;

Προσθέτουμε όλους τους μισθούς και διαιρούμε με το πλήθος των εργαζομένων: (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.000)/10 = 10.045/10 = 1.004,5. Καθόλου άσχημα μπορώ να πω για την Ελλάδα της κρίσης. Οι εργαζόμενοι αυτής της εταιρίας αμείβονται σχετικά αξιοπρεπώς. Τι όχι; Αφού ο μέσος μισθός είναι 1000 ευρώ και κάτι ψιλά για ένα καφέ κερασμένο από το αφεντικό.

Δεν έχω ιδέα πόσο είναι οι μισθοί των εργαζομένων στο μετρό, και επίσης δεν αμφισβητώ ότι ο μέσος όρος τους είναι 4000 ευρώ το μήνα. Το ερώτημα όμως που τίθεται, είναι πόσοι παίρνουν τέτοιο μισθό; Και όπως είδαμε με το προηγούμενο παράδειγμα ο μέσος όρος δε μας δίνει καμία πληροφορία για αυτό.

Ωραία μας έπεισες. Ο μέσος όρος των μισθών μπορεί και να μη λέει και πολλά πράγματα για το τι μισθολογική κατάσταση επικρατεί σε μία εταιρία. Υπάρχει κάποιος καλύτερος τρόπος να βγάλουμε συμπέρασμα;

Φίλε αναγνώστη υπάρχουν διαφορετικοί, ίσως όχι απαραίτητα καλύτεροι, και ένας από τους πιο απλούς είναι η ενδιάμεση (median) τιμή του δείγματος: Η ενδιάμεση τιμή είναι η τιμή εκείνη η οποία βρίσκεται ακριβώς στη μέση του δείγματος. Δηλαδή έχει τις μισές τιμές μεγαλύτερες και τις μισές τιμές μικρότερες από αυτή.

Για παράδειγμα στο σύνολο 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ποια θα ήταν η ενδιάμεση τιμή; Το σύνολο περιλαμβάνει 10 αριθμούς, άρα δεν υπάρχει η τιμή που βρίσκεται ακριβώς στη μέση. Η για την ακρίβεια υπάρχουν 2 τιμές που βρίσκονται στη μέση, το 5 και το 6. Αυτό που γίνεται συνήθως όταν χρειάζεται να περιγραφεί το σύνολο με ακριβώς έναν αριθμό είναι ότι βγάζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των τιμών αυτών, που στην περίπτωσή μας είναι (5+6)/2 = 11/2 = 5,5 (παρατηρήστε εδώ ότι ο μέσος όρος και η ενδιάμεση τιμή για αυτό το σύνολο δεδομένων ταυτίζονται).

Ποια θα ήταν η ενδιάμεση τιμή στην φανταστική μας εταιρία; Και πάλι έχουμε 10 αριθμούς, άρα θα πρέπει να πάρουμε τους 2 μεσαίους και να βγάλουμε το μέσο όρο τους. Οι αριθμοί αυτοί είναι το 5 και το 6 και άρα η ενδιάμεση τιμή των μισθών της φανταστικής εταιρίας είναι 5,5 ευρώ ανά μήνα, κάτι που είναι αρκετά πιο κοντά στην (φανταστική) πραγματικότητα.

Φυσικά και αυτό το στατιστικό μέτρο δεν επιτρέπει πάντα να βγάλεις ασφαλή συμπεράσματα. Για παράδειγμα, αν στην εταιρία οι μισθοί ήταν 1, 2, 3, 4, 5, 10.001, 10.002, 10.003, 10.004, 10.005, η ενδιάμεση τιμή θα ήταν (5 + 10.001)/2 = 10.006/2 = 5.003 ευρώ ανά μήνα (και ο μέσος όρος θα ήταν επίσης 5.003 ευρώ ανά μήνα). Βέβαια αν το καλοσκεφτούμε οι μισοί εργαζόμενοι σε αυτή τη δεύτερη εταιρία αμείβονται αρκετά καλά. Οι άλλοι μισοί έχουν το πρόβλημα.

Παρόλα αυτά οι μαθηματικοί ονομάζουν την ενδιάμεση τιμή εύρωστο (robust) στατιστικό μέτρο, σε αντίθεση με το μέσο όρο. Αυτό γιατί μας επιτρέπει να αγνοήσουμε κάποιες κακές μετρήσεις (τους λεγόμενους outliers) οι οποίες μπορεί να προέλθουν από διάφορους λόγους, πχ σφάλματα στα όργανα μέτρησης, ηλεκτρικές καταιγίδες κατά τη διάρκεια των μετρήσεων, ή ένα ισχυρό πολιτικό μέσο στην περίπτωση της φανταστικής μας εταιρίας.

Ο μέσος όρος, καθώς και η ενδιάμεση τιμή ονομάζονται κεντρικές ροπές του δείγματος. Γενικότερα αν χρειάζεται να γίνει αναλυτικότερη στατιστική περιγραφή των δεδομένων πρέπει να δώσουμε και άλλους αριθμούς, οι οποίοι συνολικά ονομάζονται ροπές ανώτερης τάξης. Ένα παράδειγμα είναι η διασπορά (variance) (ή ισοδύναμα η τυπική απόκλιση (standard deviation)), που ουσιαστικά μας δείχνει πόσο συγκεντρωμένες κοντά στο μέσο όρο είναι οι τιμές του δείγματος.

Αλλά δε θα σε κουράσω άλλο αγαπητέ αναγνώστη. Υπάρχουν διάφορα βιβλία στατιστικής και πιθανοτήτων στα οποία μπορείς να ανατρέξεις. Επίσης υπάρχει και το Khan Academy το οποίο έχει εισαγωγικά βιντεάκια για πολλά θέματα μεταξύ των οποίων και η Στατιστική. Το ζήτημα είναι να μην εντυπωσιάζεσαι με οτιδήποτε ακούς στο ραδιόφωνο ή βλέπεις στην τηλεόραση… Τα πραγματικά εντυπωσιακά γεγονότα είναι σχετικά λίγα.

Κοντός σύνδεσμος αλληλούια: http://wp.me/p1yMcy-ah

Advertisements
This entry was posted in Διάφορα, Ελλάδα, Μαθηματικά and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s